李雅普诺夫稳定性理论

Lyapunov Stability Theory

稳定是系统分析的前提，是系统正常工作的必要条件。
李雅普诺夫稳定性分析适用于几乎所有系统的稳定性分析，是稳定性问题解决的最基本方法。在此基础上衍生了多种稳定性判别方法。

Description

稳定性是自动控制系统最重要的特征：1. 判别系统是否稳定 2. 改善系统的稳定性

平衡点：导数为零的点.
极限环：在极限环内渐进稳定，极限环外不稳定 .

线性系统的稳定性：只取决于系统的结构和参数。
$\dot{x} = A x$ ，实际上平衡点就是 $A x = 0$ 。线性定常系统仅需要看系统矩阵，如果系统矩阵非奇异，仅有一个平衡点 $0$ ；系统矩阵奇异，有无穷多个平衡点。
非线性系统的稳定性：和系统的结构和参数、初始条件、外界扰动的大小均有关。
非线性系统各导数为零求出平衡点。一般有一到多个平衡点，不同的平衡点可能表现不同的稳定性，需要逐个分别讨论。

不稳定 <--> 稳定 --> 渐近稳定 --> 全局渐近稳定
只讨论坐标原点的稳定解情况（都可通过坐标变换转化到原点）

\begin{array}{r} \dot{x} = f (x, t) x = Φ (t; x_{0}, t_{0}) \end{array}

\begin{array}{r} | | x_{} - x_{e} | | = | | Φ (t; x_{0}, t_{0}) - x_{e} | | = \sqrt{[(x_{1} - x_{1 e})^{2} + \dots + (x_{n} - x_{n e})^{2}]} \leq ε \end{array}

随着时间的增长，系统响应的幅值是有界的

\begin{array}{r} | | Φ (t; x_{0}, t_{0}) - x_{e} | | \leq ε t_{0} \leq t < \infty \end{array}

首先要稳定，且随时间无限增长，状态轨线最终趋于平衡状态 $x_{e}$

\begin{array}{r} lim_{t \to \infty} | | x (t; x_{0}, t_{0}) - x_{e} | | = 0 \end{array}

平衡状态稳定，只有一个稳定点，从所有初始状态出发的状态轨线都具有渐进稳定性。
（对于线性系统：平衡状态渐近稳定，则必然大范围渐近稳定。）